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L'essenza della matematica sta proprio nella sua libertà.
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Fare la domanda giusta è più difficile che rispondere.
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Una falsa conclusione, una volta raggiunta e ampiamente accettata, non è facilmente rimossa e meno è compresa, più tenacemente viene mantenuta.
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Un insieme è un Molti che si lascia pensare come Uno.
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In matematica l'arte di proporre una domanda deve essere considerata di valore superiore a quello di risolverla.
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L'infinito attuale sorge in tre contesti: in primo luogo quando è realizzato nella forma più completa, in un essere ultraterreno completamente indipendente, in Deo, dove lo chiamo l'Infinito Assoluto o semplicemente Assoluto; in secondo luogo quando si verifica nel mondo contingente e creato; in terzo luogo quando la mente lo coglie in abstracto come grandezza matematica, numero o tipo di ordine.
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La paura dell'infinito è una forma di miopia che distrugge la possibilità di vedere l'infinito reale, anche se nella sua forma più alta ci ha creato e ci sostiene, e nelle sue forme trasfinite secondarie si verifica tutto intorno a noi e persino abita le nostre menti.
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Ogni molteplicità coerente transfinita, cioè ogni insieme transfinita, deve avere un aleph definito come numero cardinale.
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In matematica, l'arte di fare domande è più preziosa che risolvere i problemi.
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Non c'è dubbio che non possiamo fare a meno delle quantità variabili nel senso dell'infinito potenziale. Ma proprio da questo fatto si può dimostrare la necessità dell'infinito attuale.
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Ciò che affermo e credo di aver dimostrato in questo e in opere precedenti è che dopo il finito c'è un transfinito (che si potrebbe anche chiamare il sovra-finito), cioè un signore ascendente illimitato di modi definiti, che per loro natura non sono finiti ma infiniti, ma che proprio come il finito può essere determinato da numeri ben definiti e distinguibili.
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I numeri transfiniti sono in un certo senso essi stessi nuove irrazionalità e in effetti, a mio parere, il metodo migliore per definire i numeri irrazionali finiti è del tutto disimile, e potrei anche dire in principio lo stesso del mio metodo sopra descritto di introdurre i numeri transfiniti. Si può dire incondizionatamente: i numeri transfiniti stanno o cadono con i numeri irrazionali finiti; sono simili l'uno all'altro nel loro essere più intimo; poiché i primi come i secondi sono forme definite delimitate o modificazioni dell'infinito attuale.
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L'infinito potenziale non significa altro che una quantità indeterminata e variabile, che rimane sempre finita, che deve assumere valori che diventano più piccoli di qualsiasi limite finito, non importa quanto piccolo, o maggiori di qualsiasi limite finito, non importa quanto grande.
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La vecchia e spesso ripetuta proposizione "Totum est majus sua parte "può essere applicata senza prova solo nel caso di entità che si basano su tutto e parte; allora e solo allora è una conseguenza innegabile dei concetti" totum "e"pars". Purtroppo, tuttavia, questo" assioma "viene utilizzato innumerevoli volte senza alcun fondamento e trascurando la necessaria distinzione tra" realtà "e" quantità", da un lato, e" numero "e" insieme", dall'altro, proprio nel senso in cui è generalmente falso.
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Se Mittag-Leffler avesse avuto la sua strada, avrei dovuto aspettare fino all'anno 1984, che a me sembrava una richiesta troppo grande!
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I numeri transfiniti sono in un certo senso le nuove irrazionalità [ ... stanno in piedi o cadono con i numeri irrazionali finiti.
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Non seguire sempre ciecamente le indicazioni e le istruzioni passo-passo; potresti imbatterti in qualcosa di interessante.
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Questa visione [dell'infinito], che considero l'unica corretta, è sostenuta solo da pochi. Mentre forse sono il primo nella storia a prendere questa posizione in modo così esplicito, con tutte le sue conseguenze logiche, so per certo che non sarò l'ultimo!
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La mia teoria è ferma come una roccia; ogni freccia diretta contro di essa ritornerà rapidamente al suo arciere. Come faccio a saperlo? Perché l'ho studiato da tutte le parti per molti anni; perché ho esaminato tutte le obiezioni che sono state fatte contro i numeri infiniti; e soprattutto perché ho seguito le sue radici, per così dire, alla prima causa infallibile di tutte le cose create.
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La grande innovazione avviene solo quando le persone non hanno paura di fare le cose in modo diverso.
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Sono così favorevole all'infinito attuale che invece di ammettere che la Natura lo aborrisce, come si dice comunemente, ritengo che la Natura ne faccia uso frequente ovunque, per mostrare più efficacemente le perfezioni del suo Autore. Perciò io credo che non vi sia parte della materia che non sia - non dico divisibile-ma effettivamente divisibile; e di conseguenza la minima particella dovrebbe essere considerata come un mondo pieno di un'infinità di creature diverse.
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Non ho dubbi sulle verità dei tranfiniti, che ho riconosciuto con l'aiuto di Dio e che, nella loro diversità, ho studiato per più di vent'anni; ogni anno, e quasi ogni giorno, mi porta oltre in questa scienza.
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La mia bella prova giace tutta in rovina.
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Mi rendo conto che in questa impresa mi pongo in una certa opposizione alle opinioni ampiamente diffuse sull'infinito matematico e alle opinioni spesso difese sulla natura dei numeri.
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Mi piace la creatività nella raccolta dei dati. Ecco alcune idee creative di tracciamento di Google Analytics che ho visto:
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La matematica è completamente libera nel suo sviluppo, e i suoi concetti sono legati solo dalla necessità di essere coerenti, e sono coordinati con concetti introdotti in precedenza per mezzo di definizioni precise.
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La matematica, nello sviluppo delle sue idee, deve solo tener conto della realtà immanente dei suoi concetti e non ha assolutamente alcun obbligo di esaminare la loro realtà transitoria.
