George Polya citazioni famose

La matematica è la scienza più economica. A differenza della fisica o della chimica, non richiede attrezzature costose. Tutto ciò di cui si ha bisogno per la matematica sono carta e matita.

Una grande scoperta risolve un grande problema, ma c'è un granello di scoperta nella soluzione di qualsiasi problema. Il tuo problema può essere modesto, ma se sfida la tua curiosità e mette in gioco le tue facoltà inventive, e se lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi sperimentare la tensione e goderti il trionfo della scoperta.

Da dove dovrei cominciare? Inizia dalla dichiarazione del problema. ... Cosa posso fare? Visualizza il problema nel suo complesso nel modo più chiaro e vivido possibile. ... Cosa posso guadagnare facendo così? Dovresti capire il problema, familiarizzare con esso, imprimere il suo scopo nella tua mente.

Anche studenti abbastanza bravi, quando hanno ottenuto la soluzione del problema e scritto ordinatamente l'argomento, chiudono i loro libri e cercano qualcos'altro. Così facendo, perdono una fase importante e istruttiva del lavoro. ... Un buon insegnante dovrebbe capire e impressionare i suoi studenti l'opinione che nessun problema è completamente esaurito.

La bellezza in matematica è vedere la verità senza sforzo.

Pedanteria e maestria sono atteggiamenti opposti verso le regole. Applicare una regola alla lettera, rigidamente, senza riserve, nei casi in cui si adatta e nei casi in cui non si adatta, è pedanteria. [... Applicare una regola con naturale facilità, con giudizio, notando i casi in cui si adatta e senza mai lasciare che le parole della regola oscurino lo scopo dell'azione o le opportunità della situazione, è padronanza.

Se vuoi imparare a nuotare devi andare in acqua e se vuoi diventare un risolutore di problemi devi risolvere i problemi.

Epitaffio su Newton: La natura e la legge della natura giacevano nascoste nella notte: Dio disse: "Sia Newton!"e tutto era luce. [aggiunto da Sir John Collings Squire: Non durò: il Diavolo gridando " Ho. Sia Einstein, " restaurato lo status quo] [versione di Aaron Hill: O'er leggi della natura Dio gettò il velo della notte, Fuori blaz'd l'anima di un Newton e tutto era luce.

Il mio metodo per superare una difficoltà è aggirarla.

Per tradurre una frase dall'inglese al francese sono necessarie due cose. In primo luogo, dobbiamo comprendere a fondo la frase inglese. In secondo luogo, dobbiamo conoscere le forme di espressione peculiari della lingua francese. La situazione è molto simile quando tentiamo di esprimere in simboli matematici una condizione proposta in parole. In primo luogo, dobbiamo capire a fondo la condizione. In secondo luogo, dobbiamo avere familiarità con le forme di espressione matematica.

Risolvere i problemi è un'abilità pratica come, diciamo, il nuoto. Acquisiamo qualsiasi abilità pratica per imitazione e pratica. Cercando di nuotare, imiti ciò che gli altri fanno con le mani e i piedi per mantenere la testa sopra l'acqua e, infine, impari a nuotare praticando il nuoto. Cercando di risolvere i problemi, devi osservare e imitare ciò che gli altri fanno quando risolvono i problemi e, infine, impari a fare i problemi facendoli.

Se c'è un problema che non puoi risolvere, allora c'è un problema più facile che non puoi risolvere: trovalo.

La prima regola dello stile è avere qualcosa da dire. La seconda regola dello stile è controllarti quando, per caso, hai due cose da dire; dì prima una, poi l'altra, non entrambe allo stesso tempo.

Sono troppo buono per la filosofia e non abbastanza buono per la fisica. La matematica è in mezzo.

La matematica non è uno sport per spettatori!

La matematica consiste nel dimostrare la cosa più ovvia nel modo meno ovvio.

Il successo nel risolvere il problema dipende dalla scelta dell'aspetto giusto, dall'attaccare la fortezza dal suo lato accessibile.

È meglio risolvere un problema in cinque modi diversi, piuttosto che risolvere cinque problemi in un modo.

La matematica ha due facce: è la scienza rigorosa di Euclide, ma è anche un'altra cosa. La matematica presentata in modo euclideo appare come una scienza sistematica e deduttiva; ma la matematica in divenire appare come una scienza sperimentale e induttiva. Entrambi gli aspetti sono antichi quanto la stessa scienza della matematica.

Il modo di esporre di Euclide, progredendo senza sosta dai dati all'ignoto e dall'ipotesi alla conclusione, è perfetto per controllare l'argomento in dettaglio, ma lungi dall'essere perfetto per rendere comprensibile la linea principale dell'argomento.

L'analogia pervade tutto il nostro pensiero, il nostro linguaggio quotidiano e le nostre conclusioni banali, così come i modi artistici di espressione e le più alte conquiste scientifiche.

Per risolvere questa equazione differenziale la guardi fino a quando non ti viene in mente una soluzione.

Nella "commentatio" (nota presentata all'Accademia Russa) in cui il suo teorema sui poliedri (sul numero di facce, spigoli e vertici) è stato pubblicato per la prima volta Eulero non fornisce alcuna prova. Al posto di una prova, offre un argomento induttivo: verifica la relazione in una varietà di casi speciali. Non c'è dubbio che ha anche scoperto il teorema, come molti dei suoi altri risultati, induttivamente.

Sto evitando intenzionalmente il termine standard che, a proposito, non esisteva ai tempi di Eulero. Una delle più brutte escrescenze della" nuova matematica " fu l'introduzione prematura di termini tecnici.

Un matematico che può solo generalizzare è come una scimmia che può solo arrampicarsi su un albero, e un matematico che può solo specializzarsi è come una scimmia che può solo arrampicarsi su un albero. In realtà né la scimmia su né la scimmia giù è una creatura vitale. Una vera scimmia deve trovare cibo e sfuggire ai suoi nemici e quindi deve essere in grado di arrampicarsi incessantemente su e giù. Un vero matematico deve essere in grado di generalizzare e specializzarsi.

Hilbert una volta aveva uno studente di matematica che smise di venire alle sue lezioni, e alla fine gli fu detto che il giovane era andato a diventare un poeta. Si dice che Hilbert abbia osservato: "Non ho mai pensato che avesse abbastanza immaginazione per essere un matematico.'

Il principio è così perfettamente generale che nessuna applicazione particolare di esso è possibile.

Il primo e più importante dovere della scuola superiore nell'insegnamento della matematica è quello di enfatizzare il lavoro metodico nella risoluzione dei problemi...L'insegnante che desidera servire allo stesso modo tutti i suoi studenti, futuri utenti e non utenti di matematica, dovrebbe insegnare la risoluzione dei problemi in modo che sia circa un terzo della matematica e due terzi del buon senso.

Scrivere e parlare correttamente è certamente necessario; ma non è sufficiente. Una derivazione correttamente presentata nel libro o sulla lavagna può essere inaccessibile e non istruttiva, se lo scopo dei passaggi successivi è incomprensibile, se il lettore o l'ascoltatore non riesce a capire come sia stato umanamente possibile trovare un tale argomento....

Un'idea che può essere usata una volta sola è un trucco. Se può essere usato più di una volta diventa un metodo.

Il meglio delle idee è ferito dall'accettazione acritica e prospera sull'esame critico.

UNA GRANDE scoperta risolve un grande problema, ma c'è un granello di scoperta in ogni problema.

L'eleganza di un teorema matematico è direttamente proporzionale al numero di idee indipendenti che si possono vedere nel teorema e inversamente proporzionale allo sforzo necessario per vederle.

Il mondo è ansioso di ammirare quell'apice e il culmine della matematica moderna: un teorema così perfettamente generale che nessuna particolare applicazione di esso è fattibile.

Molto spesso, quando si presenta un'idea che potrebbe essere utile, non la apprezziamo, perché è così poco appariscente. L'esperto non ha forse più idee dell'inesperto, ma apprezza di più ciò che ha e lo usa meglio.

Per insegnare in modo efficace un insegnante deve sviluppare un sentimento per la sua materia; non può far percepire ai suoi studenti la sua vitalità se non la sente lui stesso. Non può condividere il suo entusiasmo quando non ha entusiasmo da condividere. Il modo in cui fa il suo punto può essere importante quanto il punto che fa; deve sentirlo personalmente importante.

L'insegnante raramente può permettersi di perdere le domande: cos'è l'ignoto? Quali sono i dati? Qual è la condizione? Lo studente dovrebbe considerare le parti principali del problema con attenzione, ripetutamente e da varie parti.

Uno dei primi e più importanti doveri dell'insegnante è di non dare ai suoi studenti l'impressione che i problemi matematici abbiano poca connessione tra loro e nessuna connessione con qualsiasi altra cosa. Abbiamo l'opportunità naturale di indagare le connessioni di un problema quando guardiamo indietro alla sua soluzione.

Se non riesci a risolvere il problema proposto, prova a risolvere prima qualche problema correlato.

Ci sono molte domande a cui gli sciocchi possono chiedere a cui i saggi non possono rispondere.

La prima regola della scoperta è avere cervello e buona fortuna. La seconda regola della scoperta è stare seduti e aspettare di avere un'idea brillante.

Quando viene introdotta nel momento o nel luogo sbagliato, una buona logica può essere il peggior nemico di un buon insegnamento.

La matematica è pigra. La matematica è lasciare che i principi facciano il lavoro per te in modo che tu non debba fare il lavoro per te stesso

La geometria è la scienza del ragionamento corretto su figure errate.

Il segreto del vero successo è quello di gettare tutta la tua personalità nel tuo problema.

C'era un seminario per studenti avanzati a Zürich che stavo insegnando e von Neumann era in classe. Sono venuto a un certo teorema, e ho detto che non è dimostrato e può essere difficile. Von Neumann non disse nulla, ma dopo cinque minuti alzò la mano. Quando l'ho chiamato è andato alla lavagna e ha proceduto a scrivere la prova. Dopo di che ho avuto paura di von Neumann.

Se la dimostrazione inizia dagli assiomi, distingue diversi casi e prende tredici righe nel libro di testo ... può dare ai giovani l'impressione che la matematica consista nel dimostrare le cose più ovvie nel modo meno ovvio.

Il futuro matematico ... dovrebbe risolvere i problemi, scegliere i problemi che sono nella sua linea, meditare sulla loro soluzione e inventare nuovi problemi. Con questo mezzo, e con tutti gli altri mezzi, dovrebbe sforzarsi di fare la sua prima importante scoperta: dovrebbe scoprire le sue simpatie e antipatie, il suo gusto, la sua linea.

Guardati intorno quando hai il tuo primo fungo o hai fatto la tua prima scoperta: crescono a grappoli.

Se devi dimostrare un teorema, non correre. Prima di tutto, comprendi pienamente ciò che dice il teorema, cerca di vedere chiaramente cosa significa. Quindi controlla il teorema; potrebbe essere falso. Esamina le conseguenze, verifica quante istanze particolari sono necessarie per convincerti della verità. Quando ti sei convinto che il teorema è vero, puoi iniziare a dimostrarlo.